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    2019考研數學:線性代數梳理

    2018年12月04日來源:新東方

    線性代數這一塊兒,學得好的同學覺得非常簡單,無非就是套公式。但是學得不好的同學碰到線代題就發愁。但它作為考研數學必考科目,不會做的話損失真的很大。那么該怎么復習這一科并且能有所提高呢?新東方整理了線代五個部分的重點要點,希望能對大家有所幫助。

    1、行列式

    該部分的基本考點可以分為兩大部分:

    首先第一部分考點就是行列式的計算,要求大家掌握行列式概念、性質和展開定理,以及計算行列式的公式,包括三部分:

    一是特殊的行列式,如上(下)三角行列式,低階行列式,范得蒙行列式;

    二是方陣的行列式,主要告訴我們在矩陣的各類運算下行列式的變化情況,包括矩陣的轉置、數乘、乘法以及分塊矩陣下行列式的計算公式,還包括逆矩陣和伴隨矩陣的行列式;

    三是結合特征值,矩陣所有特征值的乘積就等于矩陣的行列式,所以計算矩陣行列式的另一思路是求出矩陣所有的特征值。

    第二部分考點是行列式的應用,也即線性代數后續章節中需要我們計算行列式的考點。主要有三方面:

    一是矩陣可逆的充要條件;

    二是線性方程組的克萊姆法則,如果線性方程組的系數矩陣是方陣,則可以考慮使用克萊姆法則,對非齊次線性方程組來說,方程組有唯一解的充要條件是系數矩陣行列式不為零。

    換言之,方程組無解或是有無窮多解時都有系數矩陣的行列式為零,對齊次線性方程組來說,方程組僅有零解的充要條件是系數矩陣的行列式不為零;

    三是特征值的計算。

    2、矩

    該部分是線性代數的核心知識,它是后面其他各章節的基礎,在向量組、線性方程組、特征值、二次型中均有體現。

    首先要求大家熟悉常見矩陣,熟練掌握矩陣的運算以及法則(特別是不成立的運算法則:交換律和消去律),這是考試的最基本的要求。其次是對特殊矩陣的考察,包括可逆矩陣、伴隨矩陣、初等矩陣、正交矩陣。

    對于可逆矩陣是我們需要掌握其定義和性質、可逆性的討論以及計算逆矩陣的方法;對于伴隨矩陣需要掌握定義、性質、以及秩的公式;對于初等矩陣我們需要掌握三類初等矩陣以及它們對應的逆矩陣和左行右列的定理即可;對于正交矩陣我們需要掌握其定義、性質。

    秩是線性代數中最為常用的也是最好用的工具之一,它既是重點也是難點,比較抽象,秩是貫穿線性代數始終的一個核心概念,整個線性代數的核心理論體系都是通過秩來串聯和表達的。這里不僅僅要求要我們記住相關的定理和結論,更要求我們掌握與之相關的思想方法。

    3、線性方程組和向量

    考試中線代第一道解答題通常情況下出自兩個部分的內容,用矩陣表示的線性方程組的求解問題、用向量表示的線性方程組的解法,但是從本質上向量和矩陣都可以轉化為線性方程組的問題,所以這里核心要掌握線性方程組的解法。

    首先關于線性方程組我們需要關注三個問題:解的存在性、唯一性、解的結構;同學們一定要掌握解的存在性及唯一性的判別,充要條件以及性質;解得結構重點要掌握和理解基礎解系的概念。

    這個部分常見的題型如下:(1)線性方程組的求解;(2)方程組解向量的判別及解的性質;(3)齊次線性方程組的基礎解系;(4)非齊次線性方程組的通解結構;(5)兩個方程組的公共解、同解等問題。

    其次關于向量這一部分,它既是重點又是難點,主要是因為其比較抽象,進而就會導致我們同學們在學習理解以及做題上的困難。

    這一部分主要是要掌握兩個核心概念:線性表示和線性相關。關于這兩個核心概念重點掌握其定義、充要條件(與秩的結合)以及性質,關于這兩類題型我們一般是與非齊次線性方程組和齊次線性方程組一一對應來求解。

    4、特征值與特征向量、相似、二次型

    考試中線代第二道解答題通常情況下出自這三個部分內容,首先特征值和特征向量是作為這三個部分的基礎工具而存在,對于特征值與特征向量我們需要掌握定義,性質;其次是相似,關于相似必須掌握相似的定義以及性質,這一塊??嫉氖窍嗨茖腔膬热?。

    關于相似對角化的定義,充要條件一定要掌握,這是這一塊的一個難點也是重點,這兩部分考試??嫉念}型有:(1)數值型矩陣的特征值和特征向量的求法;(2)抽象矩陣特征值和特征向量的求法;(3)判定矩陣是否能夠相似對角化;(4)由特征值或特征向量煩求矩陣;(5)有關實對稱矩陣的問題(性質)。

    5、二次型

    二次型是與其二次型的矩陣對應的,因此有關二次型的很多問題我們都可以轉化為二次型的矩陣問題,所以正確寫出二次型的矩陣是這一章節最基礎的要求,而且結合實對稱矩陣的性質的考察,也是一個重點。

    本章節的常見題型如下:(1)二次型表示成矩陣形式;(2)化二次型為標準形;(3)二次型正定性的判別。

    線性代數部分的知識點比較瑣碎,各部分知識點之間的聯系一定要掌握清楚,另外關于這門學科的計算題也要多加練習,考試中不光要算對,還要算的快,以最短的時間取得最高的分數是我們的目的,希望同學們把握時間認真學習。

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